平稳随机过程

严平稳随机过程

若随机过程X(t)X(t)的NN维概率密度满足：

fX(X1,X2,⋯ ,Xn;t1,t2,⋯ ,tn)=fX(X1,X2,⋯ ,Xn;t1+ε,t2+ε,⋯ ,tn+ε)f_X(X_1,X_2,\cdots ,X_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)=f_X(X_1,X_2,\cdots ,X_n;t_1+\varepsilon,t_2+\varepsilon,\cdots,t_n+\varepsilon)

则称为 严平稳随机过程

严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关

fX(x1;t1)=fX(x1)E[X(t)]=mXE[X2(t)]=ΨX2D[X(t)]=σX2f_X(x_1;t_1)=f_X(x_1) \\ E[X(t)]=m_X \\ E[X^2(t)]=\Psi_X^2 \\ D[X(t)]=\sigma_X^2

严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,t2t_1,t_2的时间间隔有关

fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,x2;τ)RX(t1,t2)=RX(τ)CX(t1,t2)=RX(τ)−mX2f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_X(x_1,x_2;\tau) \\ R_X(t_1,t_2)=R_X(\tau) \\ C_X(t_1,t_2)=R_X(\tau)-m_X^2

严平稳随机过程的判断：

  1. 若X(t)X(t)为严平稳，kk为任意正整数，则E[Xk(t)]E[X^k(t)]与时间tt无关
  2. 若X(t)X(t)为严平稳，则对于任意时刻t0t_0，X(t0)X(t_0)具有相同的统计特性

宽平稳随机过程

若随机过程X(t)X(t)满足：

mX(t)=mXRX(t1,t2)=E(Xt1,Xt2)=RX(τ)ΨX2(t)=E[X2(t)]<∞m_X(t)=m_X \\ R_X(t_1,t_2)=E(X_{t_1},X_{t_2})=R_X(\tau) \\ \Psi^2_X(t)=E[X^2(t)]<\infty

则称为 宽平稳随机过程

严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。

平稳随机过程的性质

  1. RX(0)=E[X2(t)]=ΨX2⩾0平均功率R_X(0)=E[X^2(t)]=\Psi^2_X\geqslant 0 \qquad 平均功率
  2. RX(τ)=RX(−τ) CX(τ)=CX(−τ)偶对称性R_X(\tau)=R_X(-\tau) \ C_X(\tau)=C_X(-\tau) \qquad 偶对称性
  3. RX(0)⩾∣RX(τ)∣,CX(0)=σX2⩾∣CX(τ)∣极值性R_X(0) \geqslant |R_X(\tau)|, C_X(0) =\sigma^2_X\geqslant |C_X(\tau)| \qquad 极值性
  4. 若平稳过程含有一个周期分量，则RX(τ)R_X(\tau)含有同一个周期分量
  5. 若平稳过程不含有任何周期分量，则RX(∞)=mX2,CX(∞)=0R_X(\infty)=m_X^2,C_X(\infty)=0
  6. RX(τ)=CX(τ)+mX2R_X(\tau)=C_X(\tau)+m_X^2，若平稳过程是非周期的，则：σX2=RX(0)−RX(∞)\sigma_X^2=R_X(0)-R_X(\infty)

平稳随机过程

平稳过程的相关系数和相关时间

相关系数

ρX(τ)=CX(τ)CX(0)=RX(τ)−mX2σX2\rho_X(\tau)=\cfrac{C_X(\tau)}{C_X(0)}=\cfrac{R_X(\tau)-m_X^2}{\sigma_X^2}

相关系数的值在[−1,1][-1,1]之间，ρ=0\rho=0表示不相关，ρ⩾0\rho\geqslant 0表示正相关，ρ=1\rho=1表示完全相关

相关时间

当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ，记做相关时间。有时也可以用矩形面积（高为ρX(0)=1\rho_X(0)=1）等于阴影面积的一半来计算相关时间。相关时间越小，就意味着相关系数随τ\tau增加而降落的越快，表明随机过程随时间变化越剧烈。

相关系数和相关时间

遍历性或各态历经性

定义时间均值：

A(X(t))=x(t)‾=lim⁡T→∞12T∫−TTx(t) dtA(X(t))=\overline{x(t)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t) \,dt

若它依概率1收敛于集合均值，即：

A(X(T))=E[x(t)]=mXA(X(T))=E[x(t)]=m_X

则称X(t)X(t)均值具有遍历性。

定义时间自相关函数：

RX(t,t+τ)=x(t)x(t+τ)‾=lim⁡T→∞12T∫−TTx(t)x(t+τ) dt\mathfrak{R}_X(t,t+\tau)=\overline{x(t)x(t+\tau)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)x(t+\tau) \,dt

如果它依概率1收敛于集合自相关函数，即：

RX(t,t+τ)=E[x(t)x(t+τ)]=RX(τ)\mathfrak{R}_X(t,t+\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]=R_X(\tau)

则称X(t)X(t)自相关函数具有遍历性。

遍历过程必定是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的

联合宽平稳和联合宽遍历

联合宽平稳

若两个随机过程X(t)X(t)和Y(t)Y(t)分别宽平稳，且互相关函数仅为时间τ\tau的函数，即：RXY(t1,t2)=RXY(τ)τ=t2−t1R_{XY}(t_1,t_2)=R_{XY}(\tau) \qquad \tau=t_2-t_1，则称这两个过程为 联合宽平稳 或 宽平稳相依

联合宽遍历

若两个随机过程X(t)X(t)和Y(t)Y(t)联合宽平稳，定义它们的时间互相关函数为RXY(τ)=X(t)Y(t+τ)‾=lim⁡T→∞12T∫−TTx(t)y(t+τ) dt\mathfrak{R}_{XY}(\tau)=\overline{X(t)Y(t+\tau)}=\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)y(t+\tau) \,dt，若RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)]=RXY(τ)\mathfrak{R}_{XY}(\tau)=E[X(t)Y(t+\tau)]=R_{XY}(\tau)，则称这两个过程具有 联合宽遍历性

互协方差和互相关系数

当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差：

CXY(t1,t2)=CXY(τ)C_{XY}(t_1,t_2)=C_{XY}(\tau)

互相关系数：

ρXY(t)=CXY(t)CX(0)CY(0)=RXY−mXmYσXσY\rho_{XY}(t)=\cfrac{C_{XY}(t)}{\sqrt{C_X(0)C_Y(0)}}=\cfrac{R_{XY}-m_Xm_Y}{\sigma_X\sigma_Y}

联合宽平稳性质

  1. RXY(τ)=RYX(−τ),CXY(τ)=CYX(−τ)R_{XY}(\tau)=R_{YX}(-\tau),C_{XY}(\tau)=C_{YX}(-\tau)，它们既不是偶函数，也不是奇函数
  2. ∣RXY(τ)∣2⩽RX(0)RY(0),∣CXY(τ)∣2⩽CX(0)CY(0)=σX2σY2|R_{XY}(\tau)|^2\leqslant R_X(0)R_Y(0),|C_{XY}(\tau)|^2\leqslant C_X(0)C_Y(0)=\sigma_X^2\sigma_Y^2
  3. ∣RXY(τ)∣⩽12[RX(0)+RY(0)],∣CXY(τ)∣⩽12[CX(0)+CY(0)]=12(σX2+σY2)|R_{XY}(\tau)|\leqslant\cfrac{1}{2}[R_X(0)+R_Y(0)],|C_{XY}(\tau)|\leqslant\cfrac{1}{2}[C_X(0)+C_Y(0)]=\cfrac{1}{2}\left(\sigma_X^2+\sigma_Y^2\right)