平稳随机过程
严平稳随机过程
若随机过程的维概率密度满足:
则称为 严平稳随机过程
严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
严平稳随机过程的二维概率密度只与的时间间隔有关
严平稳随机过程的判断:
- 若为严平稳,为任意正整数,则与时间无关
- 若为严平稳,则对于任意时刻,具有相同的统计特性
宽平稳随机过程
若随机过程满足:
则称为 宽平稳随机过程
严平稳与宽平稳的关系:严平稳过程的均方值有界,则此过程为宽平稳的,反之不成立。对于正态过程,严平稳与宽平稳等价。
平稳随机过程的性质
- 若平稳过程含有一个周期分量,则含有同一个周期分量
- 若平稳过程不含有任何周期分量,则
- ,若平稳过程是非周期的,则:
平稳过程的相关系数和相关时间
相关系数
相关系数的值在之间,表示不相关,表示正相关,表示完全相关
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值,可以认为两个不同时刻起伏值不相关了,这个时间就称为相关时间。通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ,记做相关时间。有时也可以用矩形面积(高为)等于阴影面积的一半来计算相关时间。相关时间越小,就意味着相关系数随增加而降落的越快,表明随机过程随时间变化越剧烈。
遍历性或各态历经性
定义时间均值:
若它依概率1收敛于集合均值,即:
则称均值具有遍历性。
定义时间自相关函数:
如果它依概率1收敛于集合自相关函数,即:
则称自相关函数具有遍历性。
遍历过程必定是平稳的,而平稳过程不一定是遍历的
联合宽平稳和联合宽遍历
联合宽平稳
若两个随机过程和分别宽平稳,且互相关函数仅为时间的函数,即:,则称这两个过程为 联合宽平稳 或 宽平稳相依
联合宽遍历
若两个随机过程和联合宽平稳,定义它们的时间互相关函数为,若,则称这两个过程具有 联合宽遍历性
互协方差和互相关系数
当两个随机过程联合平稳时,它们的互协方差:
互相关系数:
联合宽平稳性质
- ,它们既不是偶函数,也不是奇函数
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