数学物理方程的导出

均匀弦的微小横振动

（自由振动方程）若自由振动：

utt−a2uxx=0u_{tt}-a^2u_{xx}=0

其中a2=T/ρa^2=T/\rho，TT为弦上的张力，ρ\rho为弦的线密度

（受迫振动方程）若受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力为F(x,t)F(x,t)：

utt−a2uxx=f(x,t)u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)

其中f(x,t)=F(x,t)/ρf(x,t)=F(x,t)/\rho称为力密度，为t时刻作用于xx处单位质量上的横向外力

均匀杆的纵振动

自由振动：

utt−a2uxx=0u_{tt}-a^2u_{xx}=0

其中a2=E/ρa^2=E/\rho

受迫纵振动：

utt−a2uxx=f(x,t)u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)

胡克定律：单位面积上的弹性力为EuxEu_x，整个横截面上的弹性力：ESuxESu_x

扩散方程

ut−a2Δu=0u_t-a^2\Delta u=0

其中a2=Da^2=D，DD为扩散系数

热传导方程

ut−a2Δu=0u_t-a^2\Delta u=0

其中a2=kcρa^2=\frac{k}{c\rho}

定解条件

初始条件

初始条件就是初始时刻方程的位移和速度的条件：

u(x,y,z,t)∣t=0=φ(x,y,z)u(x,y,z,t)|_{t=0}=\varphi(x,y,z)

ut(x,y,z,t)∣t=0=ψ(x,y,z)u_t(x,y,z,t)|_{t=0}=\psi(x,y,z)

注意初始条件应当对应整个系统的初始状态，而不是一个点的状态，意思就是它应该是一个方程而不是特定的一个值

边界条件

边界条件针对于空间上的条件

第一类边界条件

直接规定边界上的数值

如弦的两端固定而振动，边界条件是：u∣x=0=0,u∣x=l=0u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0
杆的导热问题，若一个端点的温度uu按已知规律f(t)f(t)变化，边界条件是：u(x,t)∣x=a=f(t)u(x,t)|_{x=a}=f(t)

第二类边界条件

规定边界外法线方向上放向导数的数值

杆的纵振动，若端点受沿外法线方向的外力f(t)f(t)，边界条件是：(Eun)∣x=aS=f(t)(Eu_n)|_{x=a}S=f(t)

达朗贝尔公式 定解问题