幂级数

∑k=0∞ak(z−z0)k=a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)2+⋯\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots

这样的级数称为以z0z_0为中心的 幂级数

收敛半径的判断分为比值判断法和根值判断法：

R=lim⁡k→∞∣akak+1∣R=\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right|

R=lim⁡k→∞1akkR=\lim_{k\to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{a_k}}

这里有一个常用的式子：∑k=0∞tk=11−t\displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}t^k=\frac{1}{1-t}

泰勒级数展开

设f(z)f(z)在以z0z_0为圆心的圆CRC_R内解析，则对圆内的任意点，f(z)f(z)可展为幂级数：

f(z)=∑k=0∞ak(z−z0)kf(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k

其中

ak=12πi∮CR1f(ζ)(ζ−z0)k+1 dζ=f(k)(z0)k!a_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R_1}} \cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}} \,d\zeta=\cfrac{f^{(k)}(z_0)}{k!}

CR1C_{R_1}为与CRC_R同心的圆，这个级数称为以z0z_0为中心的 泰勒级数 ，展开为泰勒级数后记得要把收敛圆求出来并在式子后面写上范围。否则不在收敛圆范围内级数发散而无意义的。

在复变函数中，一定要记得1=ei2nπ1=e^{i2n\pi}，且有1m=eimn2π1^m=e^{imn2\pi}，不能认为它等于1。还有就是当n=0n=0时的单值分支称为函数的 主值

洛朗级数展开

洛朗级数展开与泰勒级数展开不同的是洛朗级数的区域上存在奇点，要考虑除去奇点的环域上的展开。在前面没有涉及到负幂级数，这里介绍双边幂级数：

⋯+a−2(z−z0)−2+a−1(z−z0)−1+a0+a1(z−z0)1+a2(z−z0)2+⋯\cdots + a_{-2}(z-z_0)^{-2}+ a_{-1}(z-z_0)^{-1} +a_0+ a_{1}(z-z_0)^{1}+ a_{2}(z-z_0)^{2}+\cdots

设正幂部分有个收敛半径记作R1R_1，复幂部分用ζ=1z−z0\zeta=\frac{1}{z-z_0}替换后有个收敛半径1R2\frac{1}{R_2}，且R2<R1R_2<R_1，则环域R2<∣z−z0∣<R!R_2<|z-z_0|<R_!称为级数的收敛环

设函数f(z)f(z)在环域内解析，则可以展开为幂级数：

f(z)=∑k=−∞∞ak(z−z0)kf(z)=\displaystyle\sum^\infty_{k=-\infty} a_k(z-z_0)^k

其中

ak=12πi∮Cf(ζ)(ζ−z0)k+1 dζa_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}} \,d\zeta

这里积分路径CC是，环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线，注意这里aka_k的计算不能用求导！！！