复变函数第二章

复变函数的路积分

函数 $f(z)$ 沿曲线 $l$ 从 $A$ 到 $B$ 的路积分记作 $\int_l f(z) \, dz$ ，计算公式为：

$\int_l f(z) \, dz=\int_l u(x,y) \, dx -v(x,y) \,dy + i\int_l v(x,y) \, dx +u(x,y) \,dy$

注意这里的 $f(z)$ 是针对于计算后的最终结果，例如 $Re{z}$ 或 $Im{z}$ 得到的都是不带 $i$ 的实数，相当于 $u(x,y)$ ， $v(x,y)=0$

若函数 $f(z)$ 在单连通区域上解析，则沿任一闭合曲线 $l$ 的积分都为0，无方向要求：

$\oint_l f(z) \, dz=0$

函数在区域中某些点或子区域不可导或不连续甚至没有定义，即存在奇点，把这些奇点挖掉形成带孔的区域称为复连通区域。柯西定理表述为复连通区域的外边界线正方向积分加上所有内边界线（孔的边界线）正向积分为0，其中 正方向 是指观察者前进时区域总在你的左侧，即外边界线逆时针，内边界线顺时针：

$\oint_l f(z) \, dz + \sum_{i=1}^n \oint_{l_i} f(z) \, dz =0$

根据柯西定理，若函数 $f(z)$ 在单连通区域上解析，则沿区域任意路径 $l$ 的积分 $\int_l f(z) \, dz$ 只于起点和终点有关，而与路径无关。这里给出一个重要积分 $I=\oint_l (z-\alpha)^n \, dz$ 的性质：

$\frac{1}{2 \pi i}\oint_l (z- \alpha)^n \, dz= \begin{cases} 0 \quad (others) \\ 1 \quad (n=-1且l包围奇点\alpha ) \end{cases}$

$f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_l \frac{f(\zeta)}{\zeta -z} \,d \zeta$

这里的 $l$ 是单连通区域的边界线或者复连通区域所有正向的边界线。

柯西公式的一个重要推论是解析函数可求导任意多次：

$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_l \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} \,d\zeta$

「真诚赞赏，手留余香」

本文作者：2bW
本文链接：https://2bwant2b.github.io/2021/04/24/%E5%8D%9A%E5%AE%A2/%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0/%E5%A4%8D%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0-%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%AB%A0/
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