柱坐标与直角系

（记得插图）
柱坐标(ρ,φ,z)\left( \rho , \varphi , z \right)与直角坐标(x,y,z)\left( x , y , z \right)是相对应的，单位矢量的点乘叉乘关系与直角坐标系的顺序关系是一致的。例如eρ→×eφ→=ez→\overrightarrow{e_{\rho}} \times \overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{z}}

柱坐标与直角坐标系之间的转换：

(eρ→eφ→ez→)=(cos⁡φsin⁡φ0−sin⁡φcos⁡φ0001)(ex→ey→ez→)\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{e_{\rho}} \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} \\ \overrightarrow{e_{z}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{e_{x}} \\ \overrightarrow{e_{y}} \\ \overrightarrow{e_{z}} \end{array}\right)

逆变换：

(ex→ey→ez→)=(cos⁡φ−sin⁡φ0sin⁡φcos⁡φ0001)(eρ→eφ→ez→)\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{e_{x}} \\ \overrightarrow{e_{y}} \\ \overrightarrow{e_{z}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{e_{\rho}} \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} \\ \overrightarrow{e_{z}} \end{array}\right)

积分元：

{dlρ=dρdlφ=ρdφdlz=dz\left\{\begin{array}{ccc} dl_\rho = d\rho \\ dl_\varphi = \rho d \varphi \\ dl_z = dz \\ \end{array}\right.

此处的dlρdl_\rho表示沿ρ\rho方向的积分元，其余同理

球坐标与直角坐标

（记得插图）
柱坐标(r,θ,φ)\left( r , \theta , \varphi \right)与直角坐标(x,y,z)\left( x , y , z \right)是相对应的，单位矢量的点乘叉乘关系与直角坐标系的顺序关系是一致的。例如er→×eθ→=eφ→\overrightarrow{e_{r}} \times \overrightarrow{e_{\theta}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}

球坐标与直角坐标之间的转换：

(er→eθ→eφ→)=(sin⁡θcos⁡φsin⁡θsin⁡φcos⁡θcos⁡θcos⁡φsin⁡φcos⁡θ−sin⁡θ−sin⁡φcos⁡φ0)(ex→ey→ez→)\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{e_{r}} \\ \overrightarrow{e_{\theta}} \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \varphi & \sin \varphi \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{e_{x}} \\ \overrightarrow{e_{y}} \\ \overrightarrow{e_{z}} \end{array}\right)

积分元：

{dlr=drdlθ=rdθdlφ=rsin⁡θdφ\left\{ \begin{array}{ccc} dl_r = dr \\ dl_\theta = r d \theta \\ dl_\varphi = r \sin \theta d \varphi \\ \end{array} \right.

矢量的表示和运算

A→=Axax→+Ayay→+Azaz→\overrightarrow{A} = A_{x} \overrightarrow{a_{x}} + A_{y} \overrightarrow{a_{y}} + A_{z} \overrightarrow{a_{z}}

注意这里的AxA_x和其它两个都是一个标量函数，其自变量可以为x,y,zx,y,z，也就是可以表示成Ax(x,y,z)A_x (x,y,z)

矢量的点积：A→⋅B→=∣A→∣∣B→∣cos⁡θ\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = \left\lvert {\overrightarrow{A}} \right\rvert \left\lvert {\overrightarrow{B}} \right\rvert \cos \theta

矢量的叉积：A→×B→=\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} =

∣ax→ay→az→AxAyAzBxByBz∣\left| \begin{array}{ccc} \overrightarrow{a_x} & \overrightarrow{a_y} & \overrightarrow{a_z} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array}\right|

矢量场和矢量线

可类比电场线，矢量线的切线方向就是该处矢量A→\overrightarrow{A}的方向。矢量线满足微分方程：

dxAx=dyAy=dzAz\frac{dx}{A_x} = \frac{dy}{A_y} = \frac{dz}{A_z}

由此可以求出矢量线方程簇

矢量场的通量

面元矢量：dS→=n→dSd \overrightarrow{S} = \overrightarrow{n} dS
通量记作：Φ=A→⋅dS→=∣A→∣cos⁡θdS\Phi=\overrightarrow{A} \cdot d \overrightarrow{S} = \left\lvert \overrightarrow{A} \right\lvert \cos \theta d S

矢量场的散度

divA→=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂zdiv \overrightarrow{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

注意散度是一个标量

哈密顿算子

哈密顿算子∇\nabla是一个矢性的微分算子：

∇=ax→∂∂x+ay→∂∂y+az→∂∂z\nabla = \overrightarrow{a_x} \frac{\partial}{\partial x} + \overrightarrow{a_y} \frac{\partial}{\partial y} +\overrightarrow{a_z} \frac{\partial}{\partial z}

由此可知散度还可以表示成divA→=∇⋅A→div \overrightarrow {A} = \nabla \cdot \overrightarrow {A}，这里也可以看出点积得到的是一个标量，故散度是一个标量

高斯散度定理

∭V∇⋅A→ dV=∮SA→⋅ dS→\iiint_V \nabla \cdot \overrightarrow{A} \,dV=\oint_S \overrightarrow{A} \cdot \,d\overrightarrow{S}

该式是矢量函数的面积分与体积分的互换，分析场论很重要。

矢量的环量

设有矢量场A→\overrightarrow{A}，ll为场中的一条封闭有向曲线，定义矢量场A→\overrightarrow{A}环绕闭合路径ll的线积分为该矢量的环量：

Γ=∮lA→⋅ dl→=∮lAcos⁡θ dl\Gamma=\oint_l \overrightarrow{A} \cdot \,d\overrightarrow{l}=\oint_l A\cos\theta \,dl

矢量场的旋度

rotA→=∇×A→=∣axayaz∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz∣rot\overrightarrow{A} = \nabla \times \overrightarrow{A} = \left| \begin{array}{ccc} a_x & a_y & a_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{array}\right|

旋度的一个重要性质就是任意矢量旋度的散度恒等于0，即：

∇⋅(∇×A→)≡0\nabla \cdot \left( \nabla \times \overrightarrow{A} \right) \equiv 0

即如果有一个矢量场B→\overrightarrow{B}的散度等于0，则该矢量可以用另一个矢量的旋度来表示，即当∇⋅B→=0\nabla \cdot \overrightarrow{B}=0，则有B→=∇×A→\overrightarrow{B}=\nabla \times \overrightarrow{A}

斯托克斯定理

∮lA→⋅ dl→=∮SrotA→⋅ dS→\oint_l \overrightarrow{A} \cdot \, d\overrightarrow{l}=\oint_S rot \overrightarrow{A} \cdot \, d\overrightarrow{S}

该式表明矢量场A→\overrightarrow{A}的旋度沿曲面SS法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。

标量的方向导数

∂u∂l=∂u∂xcos⁡α+∂u∂ycos⁡β+∂u∂zcos⁡γ\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma

其中，cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma为ll方向的方向余弦，具体计算的话就在三维坐标里画个图算与三条坐标轴之间的夹角就行。

标量场的梯度

gradu=∇u=G=ax→∂u∂x+ay→∂u∂y+az→∂u∂zgradu=\nabla u = G =\overrightarrow{a_x}\frac{\partial u}{\partial x}+\overrightarrow{a_y}\frac{\partial u}{\partial y}+\overrightarrow{a_z}\frac{\partial u}{\partial z}

可以看出梯度是一个向量，是uu变化速率最快的方向，这里的哈密顿算子代表作用于uu，既不是点乘也不是叉乘。

另外还经常用到标量拉普拉斯算子：

∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}

梯度重要性质：∇×∇u≡0\nabla \times \nabla u \equiv 0，如果矢量场F→\overrightarrow{F}满足∇×F→=0\nabla \times \overrightarrow{F} =0，即该矢量场是一个无旋场，则矢量场F→\overrightarrow{F}可用标量函数uu的梯度来表示，即F→=∇u\overrightarrow{F}=\nabla u，称标量函数为势函数，对应的矢量场为有势场。